Đề bài
Cho đường thẳng \[d\] và hai điểm \[A, B\] có khoảng cách đến đường thẳng \[d\] theo thứ tự là \[20cm\] và \[6cm.\] Gọi \[C\] là trung điểm của \[AB.\] Tính khoảng cách từ \[C\] đến đường thẳng \[d.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Chú ý: Chia hai trường hợp: \[A, B\] cùng phía với \[d\] và \[A,B\] khác phía với \[d.\]
Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang:
+] Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
+] Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
+] Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trường hợp \[A\] và \[B\] nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng \[d.\]
Gọi \[A, B\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] và \[B\] đến \[d\]
\[AA d;\] \[BB d \]\[ AA // BB\]
Tứ giác \[ABBA\] là hình thang. Kẻ \[CH d\]
\[ CH // AA // BB\] mà \[C\] là trung điểm của \[AB\] nên \[CH\] là đường trung bình của hình thang \[ABBA\]
\[ \Rightarrow CH = \displaystyle {{AA' + BB'} \over 2}\]\[ = \displaystyle{{20 + 6} \over 2} = 13\,\,\left[ {cm} \right]\]
\[b]\] Trường hợp \[A\] và \[B\] nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng \[d\]
Kẻ \[CH d\] cắt \[AB\] tại \[K\]
\[ CH // AA // BB\]
Trong \[ AAB\] ta có: \[AC = CB\]
Mà \[CK // AA\] nên \[AK = KB\] và \[CK\] là đường trung bình của tam giác \[AAB\]
\[ \Rightarrow CK =\displaystyle {{AA'} \over 2}\][tính chất đường trung bình của tam giác]
\[CK = \displaystyle{{20} \over 2} = 10\,\,\left[ {cm} \right]\]
Trong \[ ABB\] có \[AK = KB\] và \[KH // BB\]
Nên \[KH\] là đường trung bình của \[ ABB\]
\[ \Rightarrow KH =\displaystyle {{BB'} \over 2}\][tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow KH = \displaystyle{6 \over 2} = 3\,\,\left[ {cm} \right]\]
\[CH = CK KH = 10 3 = 7\;\;[cm]\]