Đề bài
Chứng minh rằng, với mọi \[\alpha \], với mọi số nguyên k, ta có:
\[\sin \left[ {\alpha + k\dfrac{\pi }{2}} \right] = \left\{ \begin{array}{l}{\left[ { - 1} \right]^l}\sin \alpha \,\,\,\,\,nếu\,\,k - 2l\\{\left[ { - 1} \right]^l}\cos \alpha \,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1;\end{array} \right.\]
\[\cos \left[ {\alpha + k\dfrac{\pi }{2}} \right] = \left\{ \begin{array}{l}{\left[ { - 1} \right]^l}\cos \alpha \,\,\,\,\,nếu\,\,k = 2l\\{\left[ { - 1} \right]^{l + 1}}\sin \alpha \,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1;\end{array} \right.\]
\[\tan \left[ {\alpha + k\dfrac{\pi }{2}} \right] = \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1\\ - \cot \alpha \,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1\,\end{array} \right.\]
[khi các biểu thức này có nghĩa]
Lời giải chi tiết
\[\sin \left[ {\alpha + 2l\dfrac{\pi }{2}} \right] = \sin \left[ {\alpha + l\pi } \right] = {\left[ { - 1} \right]^l}\sin \alpha \];
\[\begin{array}{l}\sin \left[ {\alpha + \left[ {2l + 1} \right]\dfrac{\pi }{2}} \right] = \sin \left[ {\alpha + \dfrac{\pi }{2} + l\pi } \right]\\ = {\left[ { - 1} \right]^l}\sin \left[ {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right] = {\left[ { - 1} \right]^l}\cos \alpha .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\cos \left[ {\alpha + 2l\dfrac{\pi }{2}} \right] = \cos \left[ {\alpha + l\pi } \right] = {\left[ { - 1} \right]^l}\cos \alpha \\\cos \left[ {\alpha + \left[ {2l + 1} \right]\dfrac{\pi }{2}} \right] = \cos \left[ {\alpha + \dfrac{\pi }{2} + l\pi } \right]\\ = {\left[ { - 1} \right]^l}\cos \left[ {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right] = {\left[ { - 1} \right]^l}\left[ { - \sin \alpha } \right]\\ = {\left[ { - 1} \right]^{l + 1}}\sin \alpha \end{array}\]
Từ đó
\[\begin{array}{l}\tan \left[ {\alpha + 2l\dfrac{\pi }{2}} \right] = \tan \alpha ;\\\tan \left[ {\alpha + \left[ {2l + 1} \right]\dfrac{\pi }{2}} \right] = - \cot \alpha .\end{array}\]