Đề bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn [\[AB < AC\]]. Kẻ AH vuông góc với BC [H thuộc BC]. Gọi M là điểm nằm giữa A và H. Tia BM cắt AC ở D. Chứng minh rằng:
a] \[BM < CM\].
b] \[DM < DH\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a] Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b] Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
+ Trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn
Lời giải chi tiết
a] \[AB < AC\,[gt] \Rightarrow HB < HC\] [quan hệ đường xiên hình chiếu].
\[HB < HC \Rightarrow BM < CM\] [quan hệ đường xiên hình chiếu].
b] Ta có \[\Delta BHM\] vuông tại H nên \[\widehat {BMH}\] là góc nhọn
\[ \Rightarrow \widehat {HM{\rm{D}}}\] là góc tù [vì cùng bù với góc \[\widehat {BMH}\] nhọn].
Do đó trong \[\Delta DMH\] hai góc còn lại phải là góc nhọn hay \[\widehat {MH{\rm{D}}}\] nhọn \[ \Rightarrow \widehat {MH{\rm{D}}} < \widehat {DMH} \Rightarrow DM < DH\] [quan hệ góc cạnh trong tam giác].