Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ qua B tia Bx vuông góc với AB, qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC, gọi I là giao điểm của Bx và Cy.
a] Chứng minh \[\Delta ABI = \Delta ACI.\]
b] Chứng tỏ AI là đường trung trực của đoạn BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a. Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-góc nhọn
b.Gọi M là giao điểm của AI và BC
Chứng minh MB=MC và AM vuông góc với BC
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[Bx \bot AB,\,Cy \bot AC.\]
Xét hai tam giác vuông ABI và ACI có:
+] AI cạnh chung,
+] \[AB = AC\] [giả thiết].
Do đó \[\Delta ABI = \Delta ACI\] [ch.cgv].
b] \[\Delta ABI = \Delta ACI\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\] [góc tương ứng].
Gọi M là giao điểm của AI và BC.
Xét \[\Delta AMB\] và \[\Delta AMC\] có:
+] AM cạnh chung;
+] \[\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\] [chứng minh trên];
+] \[AB = AC\] [giả thiết].
Do đó \[\Delta AMB = \Delta AMC\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow MB = MC\,\;[1]\] và \[\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\].
Mà \[\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\] [kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}\].
Chứng tỏ \[AM \bot BC\] [2].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow AI\] là đường trung trực của BC.